C++ biblioteka predložaka za linearnu algebru Eigen

Eigen je popularna C++ biblioteka predložaka koja implementira:

• podatkovne strukture za linearnu algebru kao što su matrice i vektori te
• s njima povezane algoritme kao što su rješavanje linearnih jednažbi, računanje karakterističnih vrijednosti i drugi

Funkcionalnost:

• vektori i matrice svih veličina, od malih matrica fiksnih veličina do velikih matrica dinamički promjenjive veličine
• svi standardni numerički tipovi podataka za elemente matrice, uključujući std::complex (dokumentacija na cppreference.com)
• gusti i rijetki vektori i matrice, dekompozicija matrica, računanje linearnih najmanjih kvadrata i geometrijske transformacije
• u nepodržanim modulima: tenzori, nelinearna optimizacija, rješavanje polinomskih jednadžbi i brojne druge

Performanse:

• omogućuje primjenu "lijenog izračuna" (engl. lazy evaluation) gdje god to ima smisla
• provodi eksplicitnu vektorizaciju za SSE2/SSE3/SSE4, AVX/AVX2/AVX512, FMA i srodne ekstenzije na drugim arhitekturama
• izbjegava se dinamička alokacija memorije kod matrica fiksne veličine
• odpetljavaju se petlje kad to ima smisla

Osim toga, Eigen je dizajniran da bude jednostavan za korištenje programerima naviklim na C++.

Guste matrice i polja

Kratki pregled načina korištenja.

Moduli:

• Core implementira vektore, matrice i polja te linearnu algebru i osnovne funkcije za rad s poljima (#include <Eigen/Core>)
• Eigenvalues implementira računanje karakterističnih vrijednosti i vektora te pripadne dekompozicije (#include <Eigen/Eigenvalues>)

Polja, matrice i vektori

• Eigen::Matrix je tip kojim se zapisuju matrice
• Eigen::Vector je specijalizacije tipa Eigen::Matrix koja ima jedan stupac
• Eigen::Array je polje (produkt dva polja računa se element po element, a ne kao produkt matrica)

Inicijalizacija:

• Eigen::Matrix<float, 4, 3> matrica od 4 retka i 3 stupca čiji su elementi brojevi s pomičnim zarezom jednostruke preciznosti
• Eigen::Matrix<double, Dynamic, Dynamic> matrica dinamički promjenjivog broja redaka i stupaca čiji su elementi brojevi s pomičnim zarezom dvostruke preciznosti
• pomoćni nazivi tipova: Eigen::Matrix3f 3x3 matrica s float vrijednostima, Eigen::Matrix2d 2x2 matrica s double vrijednostima

Aritmetički operatori (neka su mat1, mat2 i mat3 matrice, vec1 i vec2 bilo kakvi vektori iste vrste, row1 retčani vektor, col1 stupčani vektor te s1 skalar):

• zbrajanje: mat1 + mat2
• množenje sklalarom: s1 * mat1, mat1 * s1, mat1 / s1
• množenje matrice i vektora: mat1 * col1, row1 * mat1
• množenje matrica: mat1 * mat2
• transponiranje: mat2.transpose()
• skalarni (unutarnji) produkt: vec1.dot(vec2)
• vektorski produkt: vec1.cross(vec2)
• vanjski produkt: col1 * row1
• norma: vec1.norm()

Primjer korištenja:

#include <Eigen/Core>
#include <iostream>

int main() {
   Eigen::Matrix2d A;
   A << 2., 0., -0.5, 1.;

   std::cout << A << std::endl;
   std::cout << "trag: " << A.trace() << std::endl;
   std::cout << "norma: " << A.norma() << std::endl;
   std::cout << "minimalni koeficijent: " << A.minCoeff() << std::endl;
   std::cout << "maksimalni koeficijent: " << A.maxCoeff() << std::endl;

   return 0;
}

Operatori na poljima (neka su array1 i array2 polja istog oblika, a s1 skalar):

• aritmetički operatori element po element: array1 + array2, array1 - array2, array1 * array2, array1 / array2
• usporedbe: array1 < array2, array1 => array2, array2 > s1 itd. (rezultat usporedbe je polje elemenata tipa bool)
• funkcije: array1.abs(), array1.log(), array1.pow(array2), array1.pow(s1) itd.

Rijetke matrice

Kratki pregled načina korištenja.

• Sparse implementira rijetke matrice i pripadnu linearnu algebru (#include <Eigen/Sparse>)

Inicijalizacija:

• SparseMatrix<double> spmat(1000, 100) rijetka matrica od 1000 stupaca i 100 redaka čiji su elementi brojevi s pomičnim zarezom dvostruke preciznosti

• spmat.insert(i, j) = v dodaje element vrijednosti v na mjestu i, j ako element ne postoji, u protivnom:

  • spmat.coeffRef(i, j) = v postavlja element na mjestu i, j na vrijednost v
  • spmat.coeffRef(i, j) += v uvećava element na mjestu i, j za vrijednost v
  • spmat.coeffRef(i, j) -= v umanjuje element na mjestu i, j za vrijednost v

Dohvaćanje svojstava:

• spmat.nonZeros() broj elemenata različitih od nule
• spmat.norm() euklidska norma matrice
• spmat.isCompressed() provjera je li matrica zapisana u komprimiranom obliku

Aritmetički operatori (spmat1 i spmat2 rijetke matrice, s1 skalar, dm1 gusta matrica, dv1 gusti vektor):

• zbrajanje: spmat1 + spmat2, oduzimanje: spmat1 - spmat2
• množenje skalarom: spmat1 * s1, spmat1 / s1
• množenje rijetkih matrica: spmat1 * spmat2
• množenje rijetkih matrica gustim matricama i vektorima: spmat1 * dm1, spmat1 * dv1
• transponiranje: spmat1.transpose()

Author: Vedran Miletić