Booleova algebra
Booleova algebra, također poznata kao matematička logika, temeljni je dio računalne znanosti i elektrotehnike. Prvi ga je predstavio engleski matematičar George Boole sredinom 19. stoljeća. Boolea su zanimali temelji matematike te je razvio simbolički sustav za predstavljanje logičkih iskaza pomoću matematičke notacije. Objavio je svoje ideje u knjizi pod nazivom The Laws of Thought 1854. godine.
Značaj Booleove algebre u računalstvu leži u njezinoj sposobnosti predstavljanja binarnih podataka, što je srž obrade digitalnih informacija. U digitalnoj elektronici informacije su predstavljene s dva stanja: uključeno ili isključeno, istinito ili lažno, ili 1 ili 0. Booleova algebra pruža način za manipuliranje tim stanjima i njihovim kombinacijama pomoću logičkih operatora kao što su I, ILI i NE. Drugim riječima, ovi nam operatori omogućuju izvođenje operacija nad binarnim podacima.
U računalnom sklopovlju Booleova algebra koristi se za projektiranje logičkih sklopova i izgradnju digitalnih sustava. Predstavljanjem binarnih stanja sustava s logičkim izrazima, inženjeri mogu dizajnirati sklopove koji obavljaju specifične zadatke i koji rade pouzdano. Također se koristi u računalnom programiranju i dizajnu softvera, gdje daje osnovu za dizajniranje algoritama i procesa donošenja odluka.
Ako ste se ikada zapitali kako računala rade i kako mogu izvoditi složene izračune i operacije samo s jedinicama i nulama, tada je razumijevanje Booleove algebre ključno. Pa zaronimo i istražimo ovo zanimljivo područje matematičke logike!
Osnovni pojmovi
U ovom poglavlju upoznat ćemo se s osnovnim pojmovima Booleove algebre poput logičkih izjava i varijabli te logičkih operatora koji su nam potrebni za bolje razumijevanje matematičke logike.
Logičke izjave i varijable
Osnovni element matemtičke logike je izjava koja je ili istinita ili lažna. Drugim riječima, tvrdnja kojoj se ne može jednoznačno odrediti je li istinita ili lažna, nije izjava u smislu matematičke logike. Stoga, logičke izjave moraju biti jasne i nedvosmislene kako bi bile primjerene za korištenje u Booleovoj algebri, a izjave koje su subjektivne i ne mogu se provjeriti nazivamo nelogičnim izjavama.
Primjerice, izjava: Tara je najljepša djevojka na svijetu očito ne može biti izjava jer njezina istinitost ovisi o promatraču. Dok je izjava: Elektron je elementarna čestica logička izjava jer se nože utvrditi njezina točnost.
Za označavanje izjava koristimo se simbolima koje nazivamo logičkim varijablama. Vrijednost varijable može poprimati samo jednu od dvije moguće vrijednosti. Ako je varijabla istina označavamo je s T (engl. True) ili sa \(1\), a ako je varijabla neistinita označavamo je s F (engl. False) ili sa \(0\).
Stoga, logičkoj izjavi Elektron je elementarna čestica možemo dodjeliti varijablu \(A\) i tada kraće zapisati kao \(A = 1\).
Logički operatori
Logičke izjave možemo povezati logičkim operatorima te time stvoriti logičke izraze. Razmotrit ćemo one osnovne logičke operacije koje su bitne u računalnoj primjeni, a s obzirom na prioritet izvođenja, su:
- negacija,
- konjunkcija,
- disjunkcija.
Negacija, NE (engl. NOT)
Negacija ili komplemet je logička operacija koja djeluje na jednu izjavu, čiji je rezultat uvijek suprotna vrijednost. Označava se s \(¬A\) u logici, \(\overline{A}\) u matematici, a riječima NOT ili znakom \(!\) u programskim jezicima.
Djelovanje logičkih operacija vrlo često opisujemo tablicom kombinacija, odnosno istinitosti. Slijedi tablica istinitosti za operator negacije:
| \(A\) | \(\overline{A}\) |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Konjukcija, I (engl. AND)
Konjunkcija je logička operacija koja djeluje na dvije ili više varijabli (izjava), a istinita je samo ako su sve izjave istinite. Simbol konjunkcije u logici je \(\wedge\), u informatici znak \(⋅\), a u programiranju AND ili &&. Tablica istinitosti je sljedeća:
| \(A\) | \(B\) | \(A \cdot B\) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Disjunkcija, ILI (engl. OR)
Disjunkcija je logička operacija koja djeluje na dvije ili više varijabli (izjava), a istinita je kada je bar jedna izjava istinita. U logici je njezin simbol \(\vee\), u informatici znak \(+\), a u programskim jezicima OR odnosno ||. Prema tome, tablica istinitosti za disjunkciju je:
| \(A\) | \(B\) | \(A + B\) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Zadatak
- Koji je osnovni element u Booleovoj algebri? Koje je temeljno svojstvo logičke izjave?
- Smatra li se izjavom u logičkoj algebri rečenica: Rijeka je najljepši grad na svijetu! Obrazloži.
- Opiši osnovne logičke operacije.
- Što se prikazuje tablicom istinitosti?
Složeni logički izrazi
Složene logičke izraze dobit ćemo kombinacijom osnovnih logičkih operacija. Tada u takvom izrazu treba pripaziti da operacije nemaju isti prioritet izvođenja jer na njihov redoslijed može se utjecati pomoću zagrada, kao i u aritmetičkim zadacima u matematici. Stoga, ako postoje zagrade, prvo se rješava izraz unutar njih, sljedeći prioritet ima negacija, zatim konjunkcija i na kraju disjunkcija.
Zadatak
Putem tablice istinitosti provjerimo za koje vrijednosti \(A\), \(B\) i \(C\) je izraz \(\overline{A + B} \cdot \overline{C}\) istinit.
Rješenje:
| \(A\) | \(B\) | \(C\) | \({A + B}\) | \(\overline{A + B}\) | \(\overline{C}\) | \(\overline{A + B} \cdot \overline{C}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
Iz tablice istinitosti vidimo da je izraz \(\overline{A + B} \cdot \overline{C}\) istinit samo u slučaju kada su vrijednosti varijabli \(A\), \(B\) i \(C\) jednake \(0\).
Zadatak
- Napiši tablicu istinitosti za sljedeće logičke izraze: \(A \cdot B + \overline{C} \cdot D\), \(\overline{A \cdot B} + C\), \((A + B) + \overline{A} \cdot C\).
Pretvaranje tablice istinitosti u logički izraz
Korištenjem disjunktivne ili konjunktivne normalne forme, iz tablice istinitosti možemo dobiti logički izraz. Uzmimo za primjer sljedeću tablicu na koju ćemo primjeniti normalne forme:
| \(A\) | \(B\) | \(Y\) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Možemo dobiti logički izraz koristeći oba normalna oblika, ali način na koji dolazimo do izraza je drugačiji i takvi dobiveni izrazi možda neće izgledati isto.
Dobiveni logički izrazi se često mogu i pojednostaviti, ali o tome ćemo pričati u poglavljima Aksiomi i teoremi i Minimizacija.
Disjunktivna normalna forma
Skraćeno ju nazivamo i DNF. Ona započinje traženjem redaka u kojima je vrijednost varijable (u ovom slučaju stupac \(Y\)) jednak 1. U gore navedenoj tablici to su 2. i 4. redak te ih promatramo zasebno:
| \(A\) | \(B\) |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
Kod ove forme varijable povezujemo operatorom konjunkcije (\(\cdot\)), ali pritom moramo paziti da negiramo vrijenosti svake varijable čija je vrijednost u tom retku 0. To činimo za svaki redak, stoga sada imamo: \(\overline{A} \cdot B\) za 2. redak i \(A \cdot B\) za 4. redak.
Preostaje nam te retke povezati. To činimo operacijom konjunkcije (\(+\)). Sada dobivamo konačan logički izraz naše tablice: \(Y = \overline{A} \cdot B + A \cdot B\)
Konjunktivna normalna forma
Skraćeno ju nazivamo i KNF. Ona je po principu rada slična disjunktivnoj normalnoj formi samo što drukčije koristimo vrijednosti i operatore iz tablice. Sada ćemo promatrati retke čija je vrijednost varijable \(Y\) jednaka 0. U našoj tablici to su 1. i 3. redak:
| \(A\) | \(B\) |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | 0 |
Kod ove forme varijable povezujemo operatorom disjunkcije (\(+\)), ali sada moramo paziti da negiramo vrijenosti svake varijable čija je vrijednost u tom retku 1. Tako imamo: \(A + B\) za 1. redak i \(\overline{A} + B\) za 3. redak.
U ovom slučaju retke povezujemo operatorom konjunkcije (\(\cdot\)) te dobijemo konačan rezultat: \(Y = (A + B) \cdot (\overline{A} + B)\)
Važno je naglasiti da je u KNF izraze pojedinih redaka nužno stavljati u zagrade kako bi se prije konjunkcije odvila operacija disjunkcije.
Ukoliko nam je zadana gotova tablica istinitosti i od nas se traži da odredimo njezin logički izraz možemo koristiti bilo koju od ove dvije normalne forme. Međutim, u tablici istinitosti može se dogoditi da se broj nula i jedinica u rezultatu razlikuje. Stoga će jedna forma biti mnogo učinkovitija od druge. Recimo da imamo tablicu s 4 varijable te kao vrijednosti varijable \(Y\) imamo 12 jedinica i 4 nule, očigledno je kako će nam za njezino rješavanje KNF biti povoljnija. Isto vrijedi i obrnuto.
Zadatak
- Opiši postupak disjunktivne i konjunktivne normalne forme.
- Tablice istinitosti iz prethodnog zadatka pretvori u složene logičke izraze koristeći obje normalne forme.
Aksiomi i teoremi Booleove algebre
Aksiome i teoreme Booleove algebre koristimo pri pojednostavljivanju složenih logičkih izraza kako bi oni bili čitljiviji i razumljiviji, ali i u konačnici kako bi računala učinkovitije radila s pojednostavljenim izrazima.
Aksiomi
Aksiom ili postulat je temeljna istina koja se ne može dokazati i služi kao temelj matematičke ili logičke teorije, tj. smatra se pretpostavkom na kojoj se gradi teorija. U nastavku su prikazana četiri osnovna aksioma.
A1. Postojanje neutralnog elementa
Kako bi nam bilo lakše razumjeti ova dva aksioma možemo izraditi njihove tablice istinitosti.
| \(A\) | \(0\) | \(A + 0\) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
Budući da je \(0\) konstanta, u njezinom stupcu za svaki redak pišemo vrijednost 0. Možemo primjetiti kako će vrijednost izraza \(A + 0\) uvijek imati identičan iznos kao i varijabla \(A\). Stoga je \(0\) u disjunkiciji neutralni element.
| \(A\) | \(1\) | \(A \cdot 0\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
U ovom slučaju također možemo uočiti kako vrijednost izraza \(A \cdot 0\) uvijek odgovara vrijednosti varijable \(A\). Stoga je \(1\) u konjunkciji neutralni element.
A2. Postojanje inverza ili komplementa
Kao i kod prethodnog aksioma možemo napraviti tablice istinitosti.
| \(A\) | \(\overline{A}\) | \(A + \overline{A}\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
Vrijednost ovog izraza uvijek će biti \(1\) jer u svakom retku postoji barem jedna vrijednost \(1\) zbog koje će disjunkcija poprimati vrijendost \(1\).
| \(A\) | \(\overline{A}\) | \(A \cdot \overline{A}\) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
Međutim, kod konjunkcije to znači da nikad obje varijable u jednom retku neće imati vrijednost \(1\) zbog čega konjunkcija uvijek poprima vrijednost \(0\).
A3. Komutativnost
Kao i u matematici tako i u Booleovoj algebri uočavamo svojstvo komutativnosti koje se odnosi na operacije zbrajanja (disjunkcija) i množenja (konjunkcija). Kojim god redoslijedom pisali elemente u takvim izrazima oni će uvijek imati istu tablicu istinitosti, odnosno bit će ekvivalentni.
A4. Distributivnost
Kod distributivnosti element van zagrade će biti uparen sa svakim elementom u zagradi koristeći operator koji se nalazi u zagradi. Zatim su ta dva para povezana operatorom koji se nalazi van zagrade.
Teoremi
Teorem ili poučak je iskaz u kojoj se utvrđuje da matematički pojam ima i druge karakteristike osim onih danih u definiciji tog pojma i ta se tvrdnja mora dokazati.
Na sve teoreme se odnosi princip dualnosti. On nam govori da ako u nekom teoremu zamjenimo \(+\) sa \(\cdot\) (i obrnuto) te vrijednosti 0 sa 1 (i obrnuto) dobit ćemo izraz koji je također teorem. Primjenu tog principa lako uočavamo u 1. teoremu.
U ovoj ćemo dokumentaciji spomenuti 8 osnovnih teorema koji će nam biti dovoljni za pojednostavljivanje većine logičkih izraza.
| Broj teorema | Ime teorema | 1. dio | 2. dio |
|---|---|---|---|
| T1 | Dominacija | \(A + 1 = 1\) | \(A \cdot 0 = 0\) |
| T2 | Idempotencija | \(A + A = A\) | \(A \cdot A = A\) |
| T3 | Involucija | \(\overline{\overline{A}} = A\) | |
| T4 | Asocijacija | \((A + B) + C = A + (B + C)\) | \((A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)\) |
| T5 | Apsorpcija | \(A + A \cdot B = A\) | \(A \cdot (A + B) = A\) |
| T6 | Simplifikacija | \(A \cdot B + A \cdot \overline{B} = A\) | \((A + B) \cdot (A + \overline{B}) = A\) |
| T7 | de Morganov zakon | \(\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}\) | \(\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}\) |
| T8 | \(A + \overline{A} \cdot B = A + B\) | \(A \cdot (\overline{A} + B) = A \cdot B\) |
Zadatak
Dokažimo 2. teorem idempotencije.
Rješenje:
- \(A + A = A\)
- \(A \cdot 1 + A \cdot 1 = A\) (1. aksiom)
- \(A \cdot (1 + 1) = A\) (4. aksiom)
- \(A \cdot 1 = A\) (jer je \(1 + 1 = 1\))
- \(A = A\) (1. aksiom)
Zadatak
Dokažimo 6. teorem simplifikacije.
Rješenje:
- \(A \cdot B + A \cdot \overline{B} = A\)
- \(A \cdot (B + \overline{B}) = A\) (4. aksiom)
- \(A \cdot 1 = A\) (2. aksiom)
- \(A = A\) (1. aksiom)
Zadatak
- Za što su nam potrebni aksiomi i teoremi?
- Opiši princip dualnosti.
- Dokaži de Morganov zakon.
Minimizacija
Pojednostavljenje složenih izraza primjenom Aksioma i Teorema Booleove algebre nazivamo minimizacija. Prilikom njihovog korištenja u minimizaciji nije ih potrebno dokazivati.
Zadatak
Minimizirajmo logički izraz iz poglavlja Konjunktivna normalna forma.
Rješenje:
- \(Y = (A + B) \cdot (\overline{A} + B)\)
- \(Y = (B + A) \cdot (B + \overline{A})\) (3. aksiom)
- \(Y = B\) (6. teorem)
Ovaj zadatak se mogao riješiti i korištenjem aksioma budući da su teoremi zasnovani na njima, no korištenjem teorema u manje koraka dođemo do istog rješenja.
Zadatak
Minimizirajmo logički izraz \((\overline{A} + B) + \overline{A}\) .
Rješenje:
- \((\overline{A} + B) + \overline{A}\)
- \((\overline{A} + \overline{A}) + B\) (4. teorem)
- \(\overline{A} + B\) (2. teorem)
Zadatak
- Što je minimizacija?
- Minimiziraj sljedeći izraz: \(\overline{A + B} \cdot (\overline{B} + A)\)
Author: Dino Gržinić, Vedran Rakuljić, Matea Turalija