Preskoči na sadržaj

Aritmetičke operacije

Aritmetičke operacije su neizostavan dio našeg svakodnevnog života, a upoznajemo se s njima još od rane dobi. Osnovne matematičke operacije koje nam omogućuju manipuliranje brojevima su zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje. Ove operacije se često kombiniraju, što može dovesti do složenijih izraza koji se rješavaju prema određenim pravilima. S druge strane, računalo je stroj koji uglavnom izvodi računske operacije, a svi podaci u računalu su prikazani u binarnom obliku. Stoga, kako bismo razumjeli kako računalo radi, važno je poznavati osnovne računske operacije u binarnom sustavu.

Operacija zbrajanja

Zbrajanje u binarnom zapisu osnovna je aritmetička operacija koja se koristi u digitalnim sustavima. Ova operacija se izvodi na dva binarna broja, gdje se svaki bit zbraja s odgovarajućim bitom drugog broja, uz eventualni prijenos iz prethodnog stupca. Prilikom zbrajanja koristit ćemo sljedeću tablicu zbrajanja binarnih brojeva:
\(0 + 0\) \(0\)
\(0 + 1\) \(1\)
\(1 + 1\) \(\mathbf{1}\) \(0\) (\(0\) pišemo, \(1\) prenosimo dalje)
\(1 + 1 + 1\) \(\mathbf{1}\) \(1\) (\(1\) pišemo, \(1\) prenosimo dalje)

Zadatak

Izračunaj u binarnom sustavu zbroj brojeva \(1010001_{(2)}\) i \(10101_{(2)}\).

Rješenje

U prvom koraku ćemo nadopuniti broj nulama tako da imaju jednak broj znamenaka:
\(1010001\)
\(+\) \(0010101\)

Zatim zbrojimo binarne brojeve imajući na umu tablicu zbrajanja jednoznamenkastih binarnih brojeva:
\(010001\) - prijenos
\(1010001\)
\(+\) \(0010101\)
\(1100110\) - rezultat

Rezultat možemo provjeriti pretvaranjem brojeva i rezultata u dekadski sustav:

\[1010001_{(2)} = 1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^0 = 64 + 16 + 1 = 81_{(2)},\]
\[10101_{(2)} = 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^0 = 16 + 4 + 1 = 21_{(2)},\]
\[1100110_{(2)} = 1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 = 64 + 32 + 4 + 2 = 102_{(2)}.\]

Budući da je \(81 + 21 = 102\), rezultat je očito točan.

Zadatak

  1. Zbrojite sljedeće binarne brojeve i provjerite dobivene rezultate: \(010101_{(2)} + 101_{(2)}, 1110_{(2)} + 10101110_{(2)}\).

Operacija oduzimanja

Budući da s pomoću dvojnog komplementa često prikazujemo negativnu vrijednost broja, oduzimanje se svodi na zbrajanje s dvojnim komplementom umanjitelja.

Zadatak

Oduzmi brojeve \(6_{(10)}\) i \(3_{(10)}\).

Rješenje
\[6 - 3 = 6 + (-3) = 110_{(2)} + 101_{(2)} = 𝟏011.\]

Prvi bit \(1\) je preljev (engl. Overflow) i zanemaruje se. Dakle, za \(6-3\) dobili smo \(011\) što je binarno \(3\).

Zadatak

  1. Oduzmite sljedeće dekadske brojeve u binarnom obliku pomoću dvojnog komplementa i provjerite dobivene rezultate: \(5 - 1\), \(10 - 6\), \(7 - 2\).

Operacija množenja

Binarno množenje slično je množenju decimalnih brojeva. Budući da su samo binarne znamenke uključene u binarno množenje, možemo množiti samo 0 i 1. Pravila za binarno množenje su sljedeća:

Množenik Množitelj Rezultat
\(0\) \(0\) \(0 \cdot 0 = 0\)
\(0\) \(1\) \(0 \cdot 1 = 0\)
\(1\) \(0\) \(1 \cdot 0 = 0\)
\(1\) \(1\) \(1 \cdot 1 = 1\)

Zadatak

Pomnožite \(100_{(2)}\) i \(011_{(2)}\) (množenje brojeva \(4\) i \(3\)).

Rješenje

Pomnožimo krajnje lijevu znamenku množitelja \(011\) sa svim znamenkama množenika \(100\). Ponavljamo isti postupak za sve sljedeće znamenke množitelja pri tome pazeći da dobiveni rezultat pišemo u novi red s jednim pomaknutim mjestom u desno. Nakon toga, redove zbrojimo koristeći pravila binarnog zbrajanja kako bismo dobili konačni rezultat, odnosno umnožak.

\[ \begin{eqnarray*} \underline{100 \cdot 011}\\ \hspace{-0.9cm}000\\ \hspace{-0.6cm} 100\\ \underline{\hspace{-0.45cm}+100}\\ \hspace{-0.3cm}1100 \end{eqnarray*} \]

Provjerom dobivenog rezultata (\(4 \cdot 3 = 12\)) možemo se uvjeriti da je rezultat točan. Ista pravila množenja vrijede i za binarne brojeve s decimalnom točkom.

Zadatak

  1. Pomnožite brojeve \(11011_{(2)}\) i \(101_{(2)}\)
  2. Pomnožite brojeve \(1011.1_{(2)}\) i \(110_{(2)}\)

Operacija dijeljenja

Algoritam za binarno dijeljenje također je sličan decimalnom dijeljenju, ali koristi pravila koja se primjenjuju na znamenke \(0\) i \(1\). Jednostavnost binarnog dijeljenja proizlazi iz činjenice da se koriste samo dvije znamenke. Operacije koje se koriste u postupku binarnog dijeljenja su binarno množenje i oduzimanje. Pravila binarnog dijeljenja koja koristimo su sljedeća:

Dijeljenik Dijelitelj Rezultat
\(0\) \(0\) \(0 : 0 = \text{nedjeljivo}\)
\(1\) \(0\) \(1 : 0 = \infty\)
\(0\) \(1\) \(0 : 1 = 0\)
\(1\) \(1\) \(1 : 1 = 1\)

Zadatak

Podjelite broj \(100111_{(2)}\) s \(11_{(2)}\).

Rješenje

Usporedimo dijeljenik \(100111\) s dijeliteljem \(11\). Kako je dijeljenik veći od dijelitelja, možemo uzeti prva tri lijeva bita dijeljenika i podijeliti ga s \(11\) te zapisati rezultat na vrhu kao kvocjent, baš kao i kod decimalnog dijeljenja. Zatim oduzimamo rezultat od znamenke, zapišemo razliku ispod i spustimo sljedeću znamenku dijeljenika te ponavljamo postupak do kraja. Dakle, dijelimo na sljedeći način:

\[ \begin{eqnarray*} \underline{100111 : 11 = 1101}\\ \hspace{-2.1cm}\underline{- 11}\\ \hspace{-1.45cm}11\\ \hspace{-1.8cm}\underline{- 11}\\ \hspace{-1.15cm}01\\ \hspace{-1.3cm}\underline{- 0}\\ \hspace{-1.1cm}011\\ \hspace{-1.2cm}\underline{- 11}\\ \hspace{-0.6cm}0 \end{eqnarray*} \]

Zadatak

  1. Podijelite broj \(101011_{(2)}\) s brojem \(10_{(2)}\).
  2. Podijelite broj \(10010_{(2)}\) s brojem \(11_{(2)}\).
  3. Podijelite broj \(101011_{(2)}\) s brojem \(101_{(2)}\).

Author: Alen Hamzić, Darian Žeko, Matea Turalija